很多人一看到数学公式和符号就烦。作为一门严格枯燥的学科，数学却有时候能给我们展现另类的美。有些数学理论用让我们觉得不可思议的结论来震撼着我们的心灵，让我们的思维方式得以升华——原来还可以这样！
1. 四色理论
如果让你把地图上中国的各个省份都区分开，要求相邻的省份之间不能有相同的颜色。那么你认为最少需要多少种颜色？你可能想象不到，只要4种颜色就够了。
四色理论首先是由Francis Guthrie于1852年发现的，当时他琢磨着在地图上把英格兰的每个国家都涂上颜色。当时可即没有网络，也没有各种工具可以使用，他能做的就是不停的尝试。经过一段时间的摸索，他惊奇地发现他最多只需要4种颜色就能保证相邻边界的国家之间具有不同的颜色。当时他就在想，这个理论是不是对任意形状的地图都是正确的，这个数学猜想被他提出之后，很久都没有被证明。
1976年即大约一个世纪之后，KennethAppel和Wolfgang Haken最终证明了这个数学理论的正确性。他们的证明相当复杂，并部分依赖于计算机（感兴趣的可以去搜索一下）。他们的最中结论就是对于任何行政地图，只要4种颜色就能保证相领的行政区域之间颜色不同。
2. Brouwer不动点定理
不动点理论来子数学的一个分支，拓扑数学。这个理论是由Luitzen Brouwer发现的。这个理论的具体严格表述是非常复杂的，也很难理解。但是在现实生活中，我们却能发现该理论的很多影射。例如我们把一副画完全复制了一遍，就拿《蒙娜丽莎》这幅画为例吧。我们把这幅画完完整整地复制了下来。现在我们可以对这个复制品做任何的动作，例如我们可以把这幅复制品放大，缩小，甚至揉得皱皱巴巴。不动点理论告诉我们，如果我们把这幅进行了蹂躏的复制品放到原画之上，那么至少有一点是和原画是完全重叠的。这个重合的点可以是蒙娜丽莎的眼睛，她的微笑，头发等等，但是这个点必定也必须存在。
不动点理论对三维空间也是适用的。假设我们有一杯水，我们拿一个勺子随意搅拌它。根据不动点理论，搅拌之后的水中必定有一个水分子跟搅拌之前的水处于完全相同的位置。
3. 罗素悖论
二十世纪初，很多人都为数学的一个分支——集合论所着迷。一个集合基本上就是指一类事物的合集。当时大家的都认为，任何事物都可以表示成集合的形式。例如所有水果可以用一个集合表示，所有的地域可以用一个集合来表示等等。更为重要的是，集合是可以包含集合的。例如所有集合的集合也是一个集合。1901年著名的数学家Bertrand Russell提出了一个轰动性的理论，他指出并不是所有的事物都可以表示成集合的。
他最终决定彻底描述这一理论的本质。为此他引入了一个新的集合，该集合是所有不包含自身的集合的集合。例如所有水果的集合不包含该集合本身（水果的集合并不是水果），因此该集合是属于罗素所引入的新集合的。这样的不包含自身的集合有还有很多很多种。但是问题来了，罗素集合本身呢？如果罗素集合不包含它自身，那么它肯定是属于罗素集合的。既然它属于了罗素集合，即罗素集合包含了自身，那么这个集合就不满足罗素集合的要求了，那么它就该从罗素集合中去除，那么它就又属于罗素集合了……这个逻辑悖论从根本上导致了集合论的重构，形成了现代集合论的一个重要分支。
4. 费马大定理
还记得初中时候学的勾股定理吗？直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方(x^2+ y^2 = z^2)。Pierre de Fermat的著名最后定理指出当把公式中的平方替代成大于2的值的时候，不存在正整数x, y, z使上面的公式成立。例如(x^3 + y^3 = z^3)不存在整数解。
费马在一张纸上贱贱地写道：“我发现了一个非常奇妙的证明方法，但是这张纸的空白太小了，写不下了”。如果可以穿越，后来的数学家一定会带一个造纸厂过去——要多少纸给你多少！费马在1637年提出这个理论之后的358年的时间里，这个定理一直没有办法被证明。这个定理一直到1995年才被一名叫Andrew Wiles数学家所证明（据说不奇妙）。
5. 世界末日之说
我想正在看这篇文章的基本上都属于人类。作为一个人类，我想大家都因该赞同数学是可以从概率的角度估计人类什么时候会灭亡的。
世界末日之说兴起于大约30年之前，中间还被重新发明了好多次。这个学说的基本观点就是：人类没多少时间就要灭亡了。这个学说的一个版本（天文学家版）表述起来超级简单：如果我们把人类从诞生到灭亡做成一个时间轴，那么我们能很容易地估计我们现在正处于时间轴的哪个位置。
显然我们现在正处于人类诞生和灭亡的时间轴的中间某个位置。那么我们可以说我们有95%的精度预测我们处于离灭亡95%的时长范围内。如果我们刚好处于距离人类诞生2.5%的位置，那么我们就可以有最长的可生存期望；如果我们说我们刚好处于97.5%的位置，那么我们就只有最短的可生存期望。因此我们可以估计人类的整个生存时长。根据天文学家的估计，人类距离灭亡的时间大约在5100年到780万年之间。人类最根据这个来准备自己的人生清单了。
6. 非欧几何
大家应该还记得初中几何吧。我们学习的那些几何都被称为欧几里得几何。欧几里得几何是建立在关于点和线的5个公理之上的。这些点线的公理很容易在黑板上表示出来，而且在很长一段时间内，大家都是相信这是唯一的一种几何方式。
但是2000年前欧几里得用来建立几何的几条公理并不是对所有人来说都是不需要证明的公理。其中有一条平行直线公理（两条平行直线永远不会相交），那帮数学家一直都不太认同。他们一直在想办法利用其他公理来证明。但是没有人成功，后来18世纪初，人们开始大胆尝试一些新的策略，不想办法证明了，直接把这些公理给替换掉。让人惊奇的事情是，几何体系并没有因为公理的替换而崩溃，反而是诞生了一种新的几何——双曲几何（或者说Bolyai-Lobachevskian几何）。科学家们受到了这一范式的启发，发展出了很多种不同的非欧几何。其中最著名的就是黎曼几何，它被爱因斯坦用在了广义相对论之中。神奇吧，真实的情况是，我们的宇宙并非是我们想象的那样的遵守我们最熟悉的欧几里得几何。
7. 欧拉公式
欧拉公式是这个系列中最强大的公式，也是世界上最完美的公式。这个公式是由历史上最多产的数学家Leonhard Euler所发现。他一生发表了800多篇论文，很多是在他失明之后发表的。
欧拉公式非常简单：e^(i*pi)+1=0。这里的e和pi都是常数，e是自然指数，pi是圆周率，这两个常数可以说是数学中最最重要，最最常用的两个常数。同时这两个数也是已知的最有名的无穷非循环小数。i 是虚数的表示符号，即i 是-1开方的结果。欧拉公式的神奇之处是它把5个数学中最常见的常数（e, i, pi, 0, 1）用一种优雅的方式和谐地组合到了一起。不得不感叹自然界是如此和谐，如此美丽。著名的物理学家费曼曾今把欧拉公式评价为“数学中最神奇的公式”。欧拉公式的把各个不同的数学方向和谐一致地结合了起来。
8. 图灵通用机
现在我们的生活已经完全被计算机所主宰着，如果说计算机是二十世纪最伟大的发明估计没有人会反对。然而人们不知道的是计算机的发明是源于理论数学领域的。
图灵是著名的数学家，也是二战时期最有名的密码破译者。他发明了一种理论上的机器，即图灵机。图灵机非常像现在的计算机：它从无限长的纸带中读取三种不同的符号（例如0， 1， 空白），随后操作员可以指定一些指令，这些指令可以把0变成1然后把纸带往左移动一个空格，或者填入一个空格并把纸带右移等等。通过这些简单的操作，图灵机可以执行任意预定义的程序。
图灵进一步描述了图灵通用机。这台图灵机可以模仿任意图灵机并读人任意的输入。这就是现代存储-执行计算机体系的最原始的概念。运用逻辑和数学，图灵在第一台计算机被制造出来就成功发展了计算机科学。
9. 多层级无穷数
无穷这个概念本身就已经很难理解了。人类本身是很难理解无穷无尽这个概念的，一直以来数学家处理无穷这个概念的时候都是万分小心的。直到19世纪中叶，康托发展了一个重要的分支——集合论，人们才能很好地去思索无穷的本质。他对无穷的研究结果让人惊叹不已。
他最终发现，对任何我们想像的一个无穷，总会存在另外一个无穷比你想象的这个无穷要大。最低层次的无穷是正整数的数量（1,2,3,…）这种是可数无穷。康托指出，在这个无穷后面有另外一个层次的无穷，即所有实数(1, 1.001, 4.1516, …)的无穷。这种类型的无穷是不可数的。即使你拥有宇宙所有的时间，你也不可能按顺序数完所有的实数。按照康托的理论，在这个无穷之上还有更高层次的无穷，到底有多少？当然是无穷个。
10. 不完备性定理
1936年澳大利亚数学家KurtGodel证明了两个重要的理论，这两个理论结合起来可以得出一个触及数学基石，让所有数学家都感到沮丧的结论：数学是不完备的，而且永远无法完备。
不考虑各种技术细节，Godel证明对任意形式体系（例如自然数体系），总存在一些关于系统的真表达，系统本身是无法自证的。从根本上，他证明了任意公理系统都是不可能完全自包含的，这跟之前的数学假定都是相违背的。永远都不可能存在一个包含所有数学理论的封闭系统。这个系统只会在我们尝试让它变得更具完备性的过程中越来越庞大。
