Limpid泡沫 · 2017-04-10 21:56
高智商

不断把凹的部分翻出来,总能把凹多边形变凸吗?

如图是一个凹多边形,而且凹得相当厉害。一个完美主义者很难容忍这么一个图形,总想着要把凹进去的部分翻出来,把它还原为一个凸多边形。

不幸的是,翻折之后的结果仍然不是凸多边形,图中又产生了新的凹陷。于是,我们想继续把凹进去的部分往外翻,直到整个图形变成凸多边形为止。

问题是,这个过程有完吗?换句话说,我们一定能通过有限多步翻折,把凹多边形变成凸的吗?

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这个问题有着非常纠结复杂的历史。这个问题最早可能是由数学家 Paul Erdős 正式提出的。 1935 年,他在 American Mathematical Monthly 上猜想,经过有限步翻折之后,凹多边形一定能变凸。 1939 年, Béla Szőkefalvi-Nagy 给出了一个证明。因此,这个结论又叫做 Erdős-Nagy 定理。有趣的是,这个问题是如此的自然,以至于在此之后,又有一大堆人重新提出并研究了这个问题,而且他们明显并不知道相互之间的已有研究。

这事儿给我们带来的好处就是,我们有了 Erdős-Nagy 定理的好几种截然不同的证明方法。不过,这些证明或者太长,或者太高深,或者又有些漏洞。1999 年, Godfried Toussaint从这些证明中取长补短,给出了一个比较初等的证明。

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