爱跑步 · 2020-07-06 13:35

勾股定理毕达哥拉斯证明,满满的干货知识!

毕达哥拉斯定理几乎是所有人最早学到的数学定理之一:一个直角三角形最长的边(斜边)的平方,等于另两条边(直角边)的平方和。满足这一定理的第一个整数组合是三边分别为3、4和5的三角形:3² + 4² = 5²。其他一些同样满足这一关系的整数组还包括:

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当然这样的整数组还有很多。但3、4和5是其中最特殊的一组,因为它们是唯一满足毕达哥拉斯定理的连续整数。

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○ 这个简单的乘法表沿对角线展示了前20个正整数的平方数。神奇的是,不仅3² + 4² = 5²成立,10² + 11² + 12² = 13² + 14²也同样成立。这种关系并不是巧合。

事实上,它们是唯一满足等式a² + b² = c²的连续整数。但是,如果你允许在这个等式囊括更多数字,或许就可以有其它连续整数能满足更复杂的等式,比如a² + b² + c² = d² + e²。而有意思的是,这个等式也只有一个连续整数组解:10² + 11² + 12² = 13² + 14²。

原因是这样的。

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○ 直角三角形任意两条直角边的平方和,总是等于斜边的平方。但这种关系远不止一个简单的等式。

认识毕达哥拉斯定理的最巧妙的方法之一是假设有一个边长为b的正方形,这个正方形的面积也就是 b²。要使a² + b² = c²成立,并且希望a、b和c是连续的整数,那么就自然对a和c有会产生极大的限制。

这意味着c必须等于(b + 1),而a必须等于(b - 1),我们可以运用一点代数知识来求解这个等式。

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因此,b必须等于0(这就没有意义了)或4,其中4就是我们之前看到的毕达哥拉斯等式,也就是3² + 4² = 5²的情况。

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○ 图上方的一个边长为b的正方形(蓝色)可以分成四块。如果沿着边长为(b-1)的正方形(黄色)的边正确地堆叠它们,则可以得到边长为(b+1)的正方形(绿色),这是理解毕达哥拉斯定理的另一种方法。

但我们也可以用图形来解决这个问题。如果从一个边长为b的正方形开始,把它分成宽为1、长为b的细长条。然后把这些细长条围在一个小一点的正方形 [也就是边长是(b - 1)的正方形]四周 ,从而得到一个更大的正方形[也就是边长是(b + 1)的正方形]。因为正方形有4条边,因此唯一做到这一点方法是,你得有4个长条,每边加上一条。

上图清楚地显示了如何完成它:

把中间的正方形分成b块,每块的宽是1,

把这些细块放在更小的正方形 [这个正方形的边长是a,即(b - 1)]周围,

最后得到一个更大的正方形[这个正方形的边长是c,即(b + 1)]。

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○ 边长为3、4、5的直角三角形,是满足毕达哥拉斯定理的第一组整数,也是满足该等式的唯一一组连续整数。

这是唯一能让等式a² + b² = c²成立的连续整数解。如果把那个中等大小的正方形变得更大或更小,都无法得到正确的条数围在较小的正方形周围。对于a² + b² = c²来说,只有3、4和5的这组连续整数能让等式成立。

但是,为什么只局限在三个数字呢?对于任何奇数个连续整数,都可能找到满足这种关系的连续整数,比如:

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等等等等。

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○ 等式10² + 11² + 12² = 13² + 14²的两边都等于365。在这幅1895年的画作中,它被用另一种形式——心算——流传了下来。| 图片来源:NIKOLAY BOGDANOV-BELSKY

事实上,如果考虑第二种等式,也就是a² + b² + c² = d² + e²,你会发现也只有一种连续整数组合能使等式成立:10² + 11² + 12² = 13² + 14²。等式左边的100 + 121 + 144相加等于365,右边的169 + 196相加也等于365。

用代数方法可以求解这类等式,但花的时间可能会有点多。解到最后你会发现中间的数字c必须是12(或0),因此完整的等式是10² + 11² + 12² = 13² + 14²。

但如果用之前的那种图形方法,你会发现还可以用一种直观的方法找到答案。

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○ 同样,如果我们想解构一个正方形,并用它把两个较小的正方形变成两个较大的正方形,我们需要4个单位来调整一个正方形,需要8个单位来调整另一个正方形。这意味着一个边长12的正方形,可以分别将边长为11和10的正方形,变成边长为13和14的正方形。

和之前一样,我们取中间的正方形(它的边长是c),并将其分成宽是1、长是c的细长条。不过,与第一次不同的是,这次我们还有另外两个正方形,我们需要用这些细长条来把这两个正方形变得更大:

1、把一个较小的正方形[边长是(c - 1)] 变成一个较大的正方形 [边长都是(c + 1)],

2、把一个更小的正方形 [边长是(c - 2)] 变成一个更大的正方形[边长都是(c + 2)]。

就像上次一样,为了完成第一个正方形,我们总共需要4个宽度为1的细长条;但要实现第二个正方形,就还需要4条宽度为2的细长条。

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○ 如果我们想用一个边长为c的正方形将两个较小的正方形 [边长分别为(c-1)和(c-2)] 变成两个较大的正方形 [边长分别为(c+1)和(c+2)],我们需要c=12才能实现。

也就是说,只有当中间正方形的边长是12时,等式才成立,这就是为什么我们会得到等式10² + 11² + 12² = 13² + 14²。如果这是一个边长为12的正方形,它可以被分成12个长条,你取其中4条(4 × 12 = 48),将11²变成13²(121+48=169)。类似地,还可以用8条长条(8 × 12 = 96),并将10²转换为14²(100 + 96 = 196)。这也就是a² + b² + c² = d² + e²的唯一连续整数解。

从这里开始,你可能隐约发现了一种规律,从数学的角度来看,这种规律很有趣。如果下一步我们找到包含了更多数字的等式的解是什么,我们就可以更清楚地看到这一点。

换言之,我们要如何找到a² + b² + c² + d² = e² + f² + g²的解?

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○ 取4个连续整数的平方和,让它们等于接下来的3个整数的平方和,这是第三个可以写下来代表毕达哥拉斯游程的可能等式。

现在,我们还是要采用类似的方法,把三个较小的正方形变成更大的正方形:

1、将边长为(d - 1)的正方形变成边长为(d + 1)的正方形,需要4个单位长度,

2、将边长为(d - 2)的正方形变成边长为(d + 2)的正方形,需要8个单位长度,

2、将边长为(d - 3)的正方形变成边长为(d + 3)的正方形,需要12个单位长度。

如果中间的正方形恰好是边长为4 + 8 + 12 = 24,就可以给这个等式提供可能的解,也就是 21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² +27² 。我们可以通过计算来验证一下,441 + 484 + 529 + 576 = 625 + 676 + 729,等式两边都等于2030,也就是等式成立。

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○ 这幅图代表第三个毕达哥拉斯游程,说明了为什么24是中间正方形边长的关键数字,它是等式a² + b² + c² + d² = e² + f² + g²的解。

在数学中,这类数列有一个特殊的名字,叫毕达哥拉斯游程(Pythagorean Runs),它可以追溯到毕达哥拉斯定理及其原始解3² + 4² = 5²。这些数列中的中间数按4、12、24、40、60、84、112……依此出现,可以一直排到无穷大。所以如果你想知道接下来的满足这类等式的数列是什么,你会得到:

这看似疯狂的数学巧合,其实有着深刻而直接的解释。

一年(非闰年)中有365天,10² + 11² + 12² = 13² + 14² = 365。但上述数学事实与这一历法完全没有关系,也与地球的自转和绕太阳的公转没有关系。这种数学关系是毕达哥拉斯几何的直接结果,它比单纯的代数更直观,一年的天数反而在这里纯粹是个巧合。

毕达哥拉斯只从a² + b² = c²开始,它有3、4、5的唯一一组连续整数解。但是,我们可以任意扩展它,对于每一个可以写下的奇数项的等式,都只有一组连续整数的唯一解。这些毕达哥拉斯游程受一类精巧的数学结构来控制,通过了解平方是如何运作的,我们也可以理解为什么它们不可能以其他方式变化。

撰文:Ethan Siegel(天体物理学家,作者,科学传播工作者,在多所大学教授物理与天文学。)

原文标题“This One Equation, 10² + 11² + 12² = 13²+ 1², Takes Pythagoras To A Whole New Level”,于2020年3月6日发表于Forbes,原文链接:https://www.forbes.com/sites/startswithabang/2020/03/06/the-bizarre-math-of-why-10%C2%B2-11%C2%B2-12%C2%B2-13%C2%B2-14%C2%B2/#5b8b801d3953

译者:微信公众号 原理(ID:principia1687)   Ethan Siegel

译者标注:文章经作者授权翻译,中文仅供参考,一切以原文内容为准。

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